نظرية فيثاغورس

كثيرا ما كان لعلماء الرياضيات اسهامات كثيرة في تطور العالم من خلال نتائجهم ونظرياتهم، فكل ما توصلوا اليه كان له دور كبير في المجالات المختلفة. ومن هؤلاء العلماء المشهورين، العالم فيثاغورس صاحب النظرية الاشهر، وهي نظرية فيثاغورس.

تعريف نظرية فيثاغورس

هي من أشهر النظريات الرياضية وأكثرها استخدامًا، سميت على اسم عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثِاغورس. وهي قديمة جدًا حيث كانت معروفة لدى الحضارات القديمة.

كان فيثاغورس سعيدا باكتشاف النظرية لدرجة إنه قدم ذبيحةً من الثيران. تبنى نظرية فيثاغورس على المثلثات المتضمنة زاوية قائمة، وتنص على ما يلي:

مربع الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

مجموع مساحة المربعين القائمين على طول ضلعي الزاوية القائمة في المثلث القائمة يُساوي مساحة المربع القائم على الوتر في المثلث القائم.

نتج عن نظرية فيثاغورس الكثير من البراهين، البراهين الكلاسيكية من فيثاغورس، إقليدس، دافنشي، نيوتن، بهاسكارا، آينشتاين، غارفيلد وغيرهم الكثير. تتضمن هذه البراهين رسومًا متحركةً جذابة وذكية.

وقد استخدمت هذه النظرية في السابق من قبل الهنود والبابليين، أي أن فيثاغورس لم يكتشفها لكنه صاحب الفضل في إثباتها (هو أو طلابه)، كذلك لا يوجد معلومات دقيقة أنه هو من اكتشفها أو حتى أثبتها.

أهمية نظرية فيثاغورس

لنظرية فيثاغورس عدة استخداماتٍ، ومن هذه الاستخدامات:

توضح شكل ونوع المثلث، فعندما يكون مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين فيكون ذلك مثلثًا قائمًا، وعندما يكون مربع الوتر أطول من مربع الضلعين الآخرين معًا يكون المثلث منفرجًا، وإذا كان مربع الوتر أقل من مربع الضلعين الآخرين معًا عندها يكون المثلث حادًا.

تساهم في حساب أطوال الأضلاع المخفية، ليس في المثلثات فقط وإنما في المربعات والمستطيلات أيضًا.

يحافظ البناؤون بمساعدة النظرية على القياسات الصحيحة للزوايا في بناء المنازل والمباني.

أمثلة على استخدامات النظرية

مثال 1

أ ب ج هو مثلث قائم الزاوية. ابحث عن طول الوتر ب ج علمًا إن الضلعين أب= 3 و ج أ= 4

الحل: بالاعتماد على نظرية فيثاغورس

(طول الوتر) ² = (مربع الضلع الأول) ² + (مربع الضلع الثاني) ²

ب ج² = أب² + ب ج²

ب ج²= 3²+4²

ب ج² =9+16 =25

وبعد حساب الجذر التربيعي تصبح النتيجة: ب ج = 5

مثال 2

أ ب ج هو مثلث قائم الزاوية. ابحث عن طول الضلع اب علمًا إن طول الوتر ب ج =13 وطول الضلع اج=5

الحل: بناءً على نظرية فيثاغورس

(طول الوتر) ² = (مربع الضلع الأول) ² + (مربع الضلع الثاني) ²

13² = 5 ² +ب ²

169 = 25 + ب²

ب² =169 -25 =144

وبعد حساب الجذر التربيعي تصبح النتيجة: ب = 12.

مثال 3

أ ب ج هو مثلث اطوال أضلاعه (13،12،6)، هل هو مثلث صحيح؟؟؟

الحل: بناءً على نظرية فيثاغورس، يجب أن يكون الجانب الذي طوله 13 هو الوتر إذا كان مثلثًا صحيحًا، أي:

13² =169

12²+6²= 36 + 144 =180

13²≠ 180

نتوصل لنتيجة إنه ليس مثلثًا صحيحًا.

مثال 4

أراد أحد الأشخاص إجراء تعديلٍ بسيط في منزله، بتحويل درج يصل بين الأرض ورواق البيت الخلفي إلى منحدر. يبلغ ارتفاع شرفة المنزل عن الأرض 3 أمتار ويبلغ طول الأرض 12 قدمًا من قاعدة الشرفة، فكم سيكون طول المنحدر؟؟؟

الحل

باستخدام نظرية فيثاغورس سنفترض أنه لدينا مثلث قائم، سنفترض ارتفاع الشرفة (أ) وطول الارض (ب) والمنحدر (ج)، لنتمكن من حساب (ج) علينا القيام بالمعادلة التالية:

ج²= أ² + ب²

ج²= 3² + 12² =9 + 144

ج²= 135

وبعد حساب الجذر التربيعي تكون النتيجة: ج = 12,4

أي طول المنحدر سيكون 12,4 قدمًا.

مثال 5

مراكب شراعية لديها شراع كبير في شكل مثلث قائم. يبلغ طول الحافة الأطول للإبحار 17 ياردة، والحافة السفلية للإبحار 8 ياردات كم يبلغ طول الشراع؟

الحل

باستخدام نظرية فيثاغورس سنفترض أن الحافة الأطول هي (ج) والحافة السفلية (ب) وطول الشراع (أ)، سنحسب طول الشراع بناءً على المعادلة الأتية:

ج² =أ² + ب² بناءً عليه فإن

أ²= ج ² – ب²

أ²= 289 -64 = 225

وبعد حساب الجذر التربيعي تكون النتيجة: أ = 15

أي طول الشراع 15 ياردة.

عكس نظرية فيثاغورس

يقول نص العكس من نظرية فيثاغورس:

إذا كان لدينا مثلث مربع أطول ضلع فيه يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، عندها يكون المثلث قائمًا والزاوية المقابلة للضلع الأطول هي الزاوية القائمة.

مثال 1

لدينا مثلث أطوال أضلاعه: 5 سم، 12 سم، 13 سم.

هل المثلث قائم الزاوية؟

الحل:

أطول ضلع فيه 13سم

13²= 169

الضلعين الآخرين

12² + 5² =25 + 144 =169

حسب عكس نظرية فيثاغورس إنه مثلث قائم.

مثال 2

لدينا مثلث أطوال أضلاعه: 8 سم، 9 سم، 12 سم.

هل المثلث قائم الزاوية؟

الحل

أطول ضلع فيه 12 سم

12²= 144

الضلعين الآخرين

8² + 9² =81 + 64 =145

حسب عكس نظرية فيثاغورس إن المثلث ليس قائمًا.

المراجع

The Pythagorean Theorem، من موقع: jwilson.coe.uga.edu، اطّلع عليه بتاريخ 13/09/2019.

Why the Pythagorean Theorem is important!، من موقع: righttrianglemath.blogspot.com، اطّلع عليه بتاريخ 13/09/2019.

The Pythagorean Theorem، من موقع: www.montereyinstitute.org، اطّلع عليه بتاريخ 13/09/2019.